２次の無理数では，ある数ｃが存在して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^2

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つことが導かれたが，リューヴィルはこのような定理がより一般の任意の代数的無理数に対しても成立することを証明した．

　αをｎ次の整数係数方程式の根とする（ｆ（α）＝０）．すなわち，代数的数αの次数をｎ（≧２）とすると，

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^n

<P />がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つ（リューヴィルの定理，１８４４年）．

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【１】ロスの定理

　それでは，代数的数αに対して

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^k

を満たす有理数ａ／ｂは有限個しかないというｋはいくつになるのだろうか？　　あるいは，任意の数ｃに対して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^k

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つｋはいくつになるのだろうか？

　この固定された指数ｋを改良するために多くの研究がなされた．１００年以上の挑戦の末得られた「ロスの定理」は最良のものである．

　　ｋ≧ｎ　　　（リューヴィル，１８４４）

　　ｋ＞ｎ／２＋１　　　（トゥエ，１９０９）

　　ｋ＞２√ｎ　　　（ジーゲル，１９２１）

　　ｋ＞√（２ｎ）　　　（ダイソン，ゲルファント，１９４７）

　　ｋ＞２　　　（ロス，１９５５）

　ｎが十分大きいならば，

　　ｎ＞ｎ／２＋１＞２√ｎ＞√（２ｎ）＞２

求めている近似の精度は緩くなるが，それでも近似分数の有限性がいえているので，強い結果となっている．

　ディリクレの定理によると１／ｑ^2未満に近似する分数ｐ／ｑは無限個あり，ロスの定理によると，少しでも２を越えると有限湖となるので，２がちょうど境目となり，最良の結果であることがわかるだろう．

　この功績でロスはフィールズ賞を受賞している（１９５８年）．１００年以上の挑戦の末，積み上げられた受賞である．

［補］ロスはドイツの数学者なので，ロートと訳すべき？

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