２次の無理数では，ある数ｃが存在して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^2

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つことが導かれたが，リューヴィルはこのような定理がより一般の任意の代数的無理数に対しても成立することを証明した．

　すなわち，代数的数αの次数をｎ（≧２）とすると，

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^n

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つ（リューヴィルの定理，１８４４年）．

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【１】ロスの定理

　それでは，代数的数αに対して

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^k

を満たす有理数ａ／ｂは有限個しかないというｋはいくつになるのだろうか？　　あるいは，任意の数ｃに対して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^k

がすべての有理数ｐ／ｑに対して成り立つｋはいくつになるのだろうか？

　この指数ｋを改良するために多くの研究がなされた．「ロスの定理」は最良のものである．

　　ｋ≧ｎ　　　（リューヴィル，１８４４）

　　ｋ＞ｎ／２＋１　　　（トゥエ，１９０９）

　　ｋ＞２√ｎ　　　（ジーゲル，１９２１）

　　ｋ＞√（２ｎ）　　　（ダイソン，ゲルファント，１９４７）

　　ｋ＞２　　　（ロス，１９５５）

［補］ロスはドイツの数学者なので，ロートと訳すべきであった．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ロスの定理はｋのある値に対して，

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＞ｃ／ｑ^k

となるｃの値が存在することを証明したが，ｃの値を具体的に定めることはできない．そうではあるが，特別な代数的数に対しては効果的な結果が得られている．たとえば，ベイカーは超幾何関数の性質を用いて，すべての有理数ｐ／ｑに対して

　　｜3√２−ｐ／ｑ｜＞１０^-6／ｑ^2.955

が成り立つことを証明した（１９６４年）．ｎ≧３の一般の代数的無理数に対するｃの値を具体的に与えられる希望が見えてきたのである．

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【２】シュミットの部分空間定理

　超越数の理論から，任意のεに対してｃ＞０が存在して，すべての整数ｐ，ｑ1，・・・ｑnに対して

　　｜ｑ1ｅ＋・・・＋ｑnｅ^n−ｐ｜＞ｃｑ^(-n-ε)　　　ｑ＝ｍａｘ｜ｑi｜

が成り立つが，ロスの定理を一般化したシュミット（１９７１年）の研究は，ｅ，・・・，ｅ^nを有理数上１次独立であるような代数的数θ，・・・，θ^nに置き換えても同じことが成り立つことを示している．

　　｜ｑ1θ＋・・・＋ｑnθ^n−ｐ｜＞ｃｑ^(-n-ε)　　　ｑ＝ｍａｘ｜ｑi｜

シュミットの拡張は部分空間定理と呼ばれるものである．

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【３】無理性の階層

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜ｃ／ｑ^k

に無限個の解があるｋの上限を示すと

　　有理数：　　　１

　　代数的数：　　２

　　ｅ：　　　　　２

　　ζ(3) ：　　　５．４４１２４３

π：　　　　　８．０１６０４５

　　リュービル数：∞

［補］エルデシュ数：Σ１／（ｋ！＋１）＝１．５２６０６８・・・

　　　カタラン数　：Σ（−１）^k-1／（２ｋ−１）^2＝０．９１５９６５・・・

　　　オイラー数　：ｌｉｍ（Σ１／ｋ−ｌｎｎ）＝０．５７７２１５・・・

の正体は依然として不明である．

［補］πの乱数度

　１９９７年，近似エントロピーという統計的手法を使った乱数度評価では，乱数度の高い順に並べると

　　π＞√２＞ｅ＞√３

の順で，超越数が代数的数より乱数度が高いとは限らないという結果もでているそうです．

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