【１】シュミットの部分空間定理

　超越数の理論から，任意のεに対してｃ＞０が存在して，すべての整数ｐ，ｑ1，・・・ｑnに対して

　　｜ｑ1ｅ＋・・・＋ｑnｅ^n−ｐ｜＞ｃｑ^(-n-ε)　　　ｑ＝ｍａｘ｜ｑi｜

が成り立つが，ロスの定理を一般化したシュミット（１９７１年）の研究は，ｅ，・・・，ｅ^nを有理数上１次独立であるような代数的数θ，・・・，θ^nに置き換えても同じことが成り立つことを示している．

　　｜ｑ1θ＋・・・＋ｑnθ^n−ｐ｜＞ｃｑ^(-n-ε)　　　ｑ＝ｍａｘ｜ｑi｜

シュミットの拡張は部分空間定理と呼ばれるものである．

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【２】無理性の階層

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜ｃ／ｑ^k

に無限個の解があるｋの上限を示すと

　　有理数：　　　１

　　代数的数：　　２

　　ｅ：　　　　　２

　　ζ(3) ：　　　５．４４１２４３

π：　　　　　８．０１６０４５

　　リュービル数：∞

［補］エルデシュ数：Σ１／（ｋ！＋１）＝１．５２６０６８・・・

　　　カタラン数　：Σ（−１）^k-1／（２ｋ−１）^2＝０．９１５９６５・・・

　　　オイラー数　：ｌｉｍ（Σ１／ｋ−ｌｎｎ）＝０．５７７２１５・・・

の正体は依然として不明である．

［補］πの乱数度

　１９９７年，近似エントロピーという統計的手法を使った乱数度評価では，乱数度の高い順に並べると

　　π＞√２＞ｅ＞√３

の順で，超越数が代数的数より乱数度が高いとは限らないという結果もでているそうです．

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