【３】補足

　実数αが整数係数の２次方程式の根になっている（２次の無理数）ならば，

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^3

を満たす有理数は有限個しかない．

（証）αを根にもつ整数係数の２次方程式を

　　ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ

とすると，

　　ｆ（ｐ／ｑ）−ｆ（α）＝（ｐ／ｑ−α）（ａｐ／ｑ−２ａα＋ｂ）

　両辺のｑ^2をかけて，ｆ（α）＝０と｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^3を使えば，

　　｜ａｐ^2＋ｂｐｑ＋ｃｑ^2｜＜（｜ａ｜＋｜２ａα＋ｂ｜）／ｑ

左辺は整数，右辺はｑが大きくなると０に収束するので，この不等式を満たすｐ／ｑの組は有限個しかない．

　それどころか，実数αが整数係数の代数方程式ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ^2＋・・・＋ａnｘ^n＝０の根になっている（代数的数）ならば，

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^(2+ε)

を満たす有理数は有限個しかない（ロスの定理）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝