【３】フルヴィッツの定理

　連続する２つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1とすると，それらのうち一方は

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2を満たす．

（証）α−ａn／ｂn，α−ａn+1／ｂn+1は反対符号で，ａnｂn+1−ａn+1ｂn＝（−１）^(n+1)であるから

　　｜α−ａn／ｂn｜＋｜α−ａn+1／ｂn+1｜

　＝｜ａn／ｂn−ａn+1／ｂn+1｜

　＝１／ｂnｂn+1

任意の実数α，βに対してαβ＜（α^2＋β^2）／２であるから

　　１／ｂnｂn+1＜１／（２ｂn^2）＋１／（２ｂn+1^2）

これより題意の結果が得られる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　連続する３つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1，ａn+2／ｂn+2とすると，それらのうち少なくともひとつは

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす．

　この結果から「フルヴィッツの定理」

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在する．

を証明することができる．この定数√５は最良のもので，これより大きな数に置き換えることはできないが，αの連分数展開が有限個を除いてすべて１になる無理数を除外すれば，フルヴィッツの定理は√５の代わりに√８を用いても成り立つ．

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