【１】２次の無理数，３次の無理数

　２次方程式の解となる√ｎの連分数展開を求めると，たとえば

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

　　√３＝［１：１，２，１，２，１，２，１，２，・・・］

　　√７＝［２：１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

のように循環型の単純連分数に展開されることが知られている（ラグランジュの定理）．

　しかし，３次以上の方程式の解，たとえば3√２の連分数展開を求めると，

　　3√２＝［１：３，１，５，１，１，４，１，１，８，１，１４，１，１０，２，１，４，・・・］

の一般項は求めることができない．この展開に現れる整数に最大値があることも示すこともできないのである．

　超越数ｅの連分数展開は，

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］

と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかる．

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，１，２ｎ，１，・・・］

すなわち，ｅの連分数展開は２次の無理数のように規則性があるわけだが，ｅのように超幾何関数の特殊値は３次の無理数よりも，２次の無理数に近いということなのだろうか？

　しかし，πの連分数展開

　　π＝［３；７，１５，１，２９２，１，１，１，２，１，３，１，１４，２，１，１，２，２，２，２，１，８４，２，１，１，１５，３，１３，１，４，２，６，６，９９，１，２，２，６，３，５，１，１，６，・・・］

にはなんの規則性も見あたらないようにみえる．もちろん，一般項は見つかっていない．

　πに現れる数字０〜９については，重複対数の法則と呼ばれるランダムウォークに基づく非常に厳しいランダムネス検定にも十分合格することが確かめられている．πには少なくとも何進法かの表現の下でなにか隠された未発見の規則性があるに違いないと信じている人もいるが，現在のところ，πは最も複雑な数なのである．

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