「ディリクレの定理」すなわち，近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならばαは無理数である（右辺はこの定数倍でもよい）．これは無理数が無限に多くの既約分数解｛ａn／ｂn｝をもつことを示している．

　それでは

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^k

が無限に多くの解をもつことができるような最大の実数ｋはいくつになるのだろうか？　ｋを求める問題は１種の最良近似問題である

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【１】ディリクレの定理の証明

　αが有理数で，α＝ｐ／ｑと表されたとする．｛ｂn｝は次々に大きくなる整数列であるから，ｑ＜ｂnである番号をとると

　　｜α−ａn／ｂn｜＝｜ｐ／ｑ−ａn／ｂn｜＝｜ｐｂn−ｑａn｜／ｑｂn

　しかし，ａn／ｂnはαとは一致しないので分子は１以上．したがって

　　｜α−ａn／ｂn｜≧１／ｑｂn

であるが，これが＜１／ｂn^2なのでｑ＞ｂnとなり矛盾．すなわち，αは有理数ではあり得ないことになる．

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