オイラー級数

　Σ１／ｎ^s ＝１／１^s ＋１／２^s ＋１／３^s ＋１／４^s ＋・・・

について、オイラーはｓが２から２６までの偶数値に対する和も求めていて、ｓが２以上の偶数のとき、結果はすべてπ^s の倍数になり、有理数×π^s でありことを証明しています。

奇数ベキ級数の和ζ（２ｎ＋１）は未解決ですが、偶数ベキにならって、定数（無理数？）×π^s の形で書くと、ζ（３）＝π^3 ／２５．７９４３６・・・，ζ（５）＝π^5 ／２９５．１２１５・・・，ζ（７）＝π^7 ／２９９５．２８６・・・となります。

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[参]　杉岡幹生・武捨貴和「初等数学によるゼータ関数の探求」

には、

ζ(3)、ζ(5)、・・・、ζ(2n+1)=α/β・π^2n+1

を満足する整数α、βは存在しないことが証明されている・・・。

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