【１】２^（√２）は超越数である

　　２^√２＝２．６６５１４４１４２６・・・

は超越数，すなわち，整数係数のどの代数方程式の根にもならない実数であることはゲルフォント・シュナイダーの定理

「ａは０でも１でもない代数的数，ｂは代数的無理数ならば，ａ^bは超越数である」

からいえるのです．２^（√２）の超越性の証明は１９３４年，ゲルフォントとシュナイダーによって独立になされました．

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【２】ｅ^πは超越数である

　　ｅ^π＝２３．１４０６９２６４・・・

は超越数であるは，ｅ（＝２．７１８２８・・・），ｉ，π（＝３．１４１５９・・・）を結びつける美しいオイラー関係式ｅ^iπ＝−１より，

　　ｅ^π＝（−１）^-i

したがって，ゲルフォント・シュナイダーの定理からこのことがいえるのです．

一方，

　　π^e＝２２．４５９１５７７１・・・

が有理数かどうかはわかっていません．

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