ベータ関数（オイラーの第１種積分）は，

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt t:0-1

によって定義されます．ここで，積分変数をｔからu=(1-t)/tによってuに変えると，

　　B(a,b)=∫(0,∞)u^(a-1)/(1+u)^(a+b)du u:0−∞

が得られます．

　ベータ関数とガンマ関数との間には

　　B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)

の関係がありますから，ベータ関数はガンマ関数の兄弟分にあたります．

　　Γ(1/2)＝√π

を得るにはベータ関数が用いられます．この関数において

　　t=sin^2θ

とおくとdt=2sinθcosθdθですから

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ

ここで，a=1/2,b=1/2とすると

B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π

Γ^2(1/2)/Γ(1)=π

Γ(1)=1であるからΓ(1/2)＝√πとなる

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【１】ベータ関数の一般化

　ベータ関数を一般化すると，

　　∫(a,b)(x-a)^m(b-x)^ndx=m!n!/(m+n+1)!(b-a)^(m+n+1)

が得られます．これらは受験参考書に必ず書いてある

　　∫(a,b)(x-a)(x-b)dx=-1/6(b-a)^3・・・１／６公式

　　∫(a,b)(x-a)(x-b)^2dx=1/12(b-a)^4・・・１／１２公式

　　∫(a,b)(x-a)^2(x-b)dx=-1/12(b-a)^4・・・１／１２公式

　　∫(a,b)(x-a)^2(x-b)^2dx=1/30(b-a)^5・・・１／３０公式

という公式の一般化になっています．

　１／６，１／１２，１／３０の正体は

　　m!n!/(m+n+1)!

というわけです．

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【２】アステロイドの面積

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt t:0-1

より，

　　∫(0,1)(1-x^1/m)^ndx=mn/(m+n)Ｂ(m,n)

ｍ＝ｎ＝３／２のとき，アステロイドの面積（の１／４）が得られます．

　　B(3/2,3/2)=Γ(3/2)Γ(3/2)/Γ(3)，Ｓ＝３π／３２

ｍ＝ｎ＝１／２のとき，円の面積（の１／４）が得られます．

　　B(1/2,1/2)=Γ(1/2)Γ(1/2)/Γ(１)，Ｓ＝π／４

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