【６】ζ（５）の無理数性？

　すでに無理数とわかっているζ（２），ζ（３），ζ（４）と同様

　　ζ（５）＝Σ１／ｎ^5

も無理数と思われていますが，まだ証明されていません．アペリの証明はζ（３）に特化したもので，ζ（５）に拡張することはできないのです．

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Σ1/(2nCn)={2π√3+9}/27

　　Σ1/n(2nCn)=π√3/9

　　3Σ1/n^2(2nCn)=ζ（2）

　　12Σ(2-√3)^n/n^2(2nCn)=ζ（2）

　　5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2nCn)=ζ（3）

　　36/17Σ1/n^4(2nCn)=ζ（4）

ζ（2），ζ（3），ζ（4），・・・がΣ1/n^k(2nCn)あるいはΣ(-1)^(n-1)/n^k(2nCn)の簡単な有理数倍になっていることから

　　ζ（5）=R*Σ(-1)^(n-1)/n^5(2nCn)

と予想されます．しかし，予想に反して，Ｒはたとえ有理数であったにしても簡単なものにはなりません．結局，ζ（2），ζ（3），ζ（4）だけが

　　ζ（k）=R*Σ1/n^k(2n,n)，ζ（k）=R*Σ(-1)^(n-1)/n^k(2n,n)

で表されることが確かめられています．

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２０００年にズディリンとリヴォールが無限個のζ（２ｎ＋１）が無理数であること，２００１年には，ζ（５），ζ（７），ζ（９），ζ（１１）のうち，少なくともひとつは無理数であることを証明した．しかし，この証明からは４つの数のうちどれが無理数であるかはわからないという．いまだζ（3）が超越数であるかどうかは知られていませんし，ζ（5），ζ（7），・・・が有理数なのか無理数なのかもわかっていません．

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