超越数の例としては，

　　ｅ，π，ｅｘｐ（√２），ｌｏｇ２，２^√２，ｅｘｐ（π），ｌｏｇ10２

などが知られている．ｌｏｇπは無理数でしょうか？　さらには超越数でしょうか？

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［１］αが代数的数，βが超越数ならば

　　α＋β，αβは超越数

［２］ゲルフォント・シュナイダーの定理

　　αが代数的数，ｂ＞０が有理数，β＝ｉ√ｂとする．

　　α^βは超越数

　例）オイラーの等式：ｅ^ｉπ＋１＝０より

　　ｅ^π＝（ｅ^ｉπ）^-i＝（−１）^-i　→　超越数

［３］ゲルフォント・シュナイダーの定理

　　αとβが代数的数，βが有理数でないとする．

　　α^βは超越数

　例）２^√２　→　超越数

［４］リンデマン・ワイエルシュトラスの定理

　１８７３年にエルミートが，ｅは超越数であることを証明した．正確には

　　αkは相異なる相異なる整数なら｛ｅ^α1，ｅ^α2，・・・，ｅ^αn｝は線形独立，すなわち，Σβkｅ^αk＝β1ｅ^α1＋β2ｅ^α2＋・・・＋βnｅ^αn＝０ならば，β1＝β2＝・・・＝βn＝０

を証明した．

　１８８２年，リンデマンがこの結果を，

　　αkは相異なる代数的数，Σβkｅ^αk＝β1ｅ^α1＋β2ｅ^α2＋・・・＋βnｅ^αn＝０ならば，β1＝β2＝・・・＝βn＝０

すなわち，αkは相異なる相異なる代数的数なら｛ｅ^α1，ｅ^α2，・・・，ｅ^αn｝は線形独立

に改良した．

　リンデマンの定理には，広い帰結が知られていて，この定理を認めれば

［１］√πは作図可能な数ではない．したがって，

［２］コンパスと定規で円積問題は不可能である．

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