ガンマ関数（オイラーの第２種積分）は，

　　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt

で定義される。

　　Γ(x+1)=xΓ(x)

が成立するから、ｘが正の整数のとき、Γ(x+1)=x!である。

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　Ｘ＝1.4613213・・・のとき、最小値0.8856031944・・・をとる。

　　Γ(1)＝１，Γ(1/2)＝√π

であることを知っていればたいてい間に合いますが，Γ(1/2)＝√πを得るにはベータ関数が用いられます．この関数において，t=sin^2θとおくと

　　dt=2sinθcosθdθ

ですから

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ

ここで，a=1/2,b=1/2とすると

　　B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π

　　Γ^2(1/2)/Γ(1)=π

より

Γ(1/2)＝√π＝1.7724538509・・・となります．

Γ(1/3)＝2.6789385347・・・

Γ(1/4)＝3.625609907・・・

は超越数である

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