f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)

のとき，

　　sin^(-1)z=∫(0,z)f(x)dx

ですから，

　　∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π/2

となります．

　それでは，

　　f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)

としたとき，

　　∫(0,1)f(x)dx=1.311028･･･=ω/2

は，どのようにすれば得られるのでしょうか？

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　ガンマ関数（オイラーの第２種積分）は，

　　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt

ベータ関数（オイラーの第１種積分）は，

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

によって定義されます．ベータ関数とガンマ関数との間には，

　　B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)

の関係がありますから，ベータ関数はガンマ関数の兄弟分にあたります．

　　Γ(1)＝１，Γ(1/2)＝√π

であることを知っていればたいてい間に合いますが，Γ(1/2)＝√πを得るにはベータ関数が用いられます．この関数において，t=sin^2θとおくと

　　dt=2sinθcosθdθ

ですから

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ

ここで，a=1/2,b=1/2とすると

　　B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π

　　Γ^2(1/2)/Γ(1)=π

Γ(1)=1ですから，Γ(1/2)＝√πとなります．

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　ベータ関数において，a=m/n,b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，

　　∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）

したがって，

　(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

　(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

が得られます．

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　　∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

は初等的にも得ることができます．一方，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

は，特別な数と楕円積分を関係づけるものになっています．

　これらを，Γ^q（1/q）の形で統一的に表示すれば，

　　Γ^2（1/2）＝π＝２∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx

　　Γ^3（1/3）＝２^(4/3)３^(1/2)π∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx

　　Γ^4（1/4）＝２^5π（∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx）^2

　なお，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

を得るには，ガンマ関数の乗法公式（倍数公式）

　　Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)

と相反公式（相補公式）

　　Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ

また，

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

を得るには乗法公式を用いています．

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