√２は無理数である

　　√２^√２は無理数である

　　２^√２＝２．６６５１４４１４２６・・・

は無理数（超越数）である．このことはゲルフォント・シュナイダーの定理「ａは０でも１でもない代数的数，ｂは代数的無理数ならば，ａ^bは超越数である」からいえる．

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　ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）＝２はｘ^2＝２と書き変えることができて

　　ｘ＝√２

　実際に計算してみると

　　√２＝１．１４１４２１３５６２・・・

　　√２^√２＝１．６３２５２６９１９・・・

　　√２^（√２^√２）＝１．７６０８９３５５５・・・

　　√２^（√２^√２^√２）＝１．８４０９１０８６９・・・

　　√２^（√２^√２^√２^√２）＝１．８９２７１２６９６・・・

　　√２^（√２^√２^√２^√２^√２）＝１．９２６９９９７０１・・・

→２

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　関数ｆ（ｘ）＝ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）は区間［ｅｘｐ（−ｅ），ｅｘｐ（１／ｅ）］で定義されることをオイラーが示した．

ｅｘｐ（−ｅ）＝０．０６５９８８０３５８４・・・＜１

ｅｘｐ（１／ｅ）＝１．４４４６６７８６１００＞√２＞１

　したがって，

　ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）＝３はｘ^2＝３と書き変えることができない．

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