【５】ヴィーフェリッヒの定理

次のブレークスルーは，ヴィーフェリッヒの定理（１９０９年）です．　「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である」

ヴィーフェリッヒ判定基準とは

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

すなわち，２^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものです．フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となりますが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがあり，そのときｐをヴィーフェリッヒ素数といいます．

ヴィーフェリッヒの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である．

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られています．２つのヴィーフェリッヒ素数−１を２進数に変換すると

　　１０９２＝１０００１０００１００

　　３５１０＝１１０１１０１１０１１０

のように奇妙なパターンがみられるのだそうです．

ヴィーフェリッヒの定理により，フェルマーの最終定理の証明は驚くほど簡単になりました．６・１０^9以下ではｐ＝１０９３，３５１１だけがこの判定基準を満たし．ｘｙｚがｐで割り切れない場合，この２つについてだけ調べればよいことになるからです．

[補]フェルマーの小定理より，ｐを素数とすると，ｐは常に２^(p-1)−１を割り切る．

　　２^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

［Ｑ］ｐ^2が２^(p-1)−１を割り切るような素数ｐはあるだろうか？

　　２^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

［Ａ］ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られています．

　　２^1092−１は１０９３^2で割り切れる．

　　２^3510−１は３５１１^2で割り切れる．

　一方，

　　２^(p-1)−１≠０　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

すなわち，ヴィーフェリッヒ素数でない素数は無限個あることが示されている（実際にはヴィーフェリッヒ素数はいまのところ１０９３と３５１１しか知られていない）．

［Ｑ］ｐ^3が２^(p-1)−１を割り切るような素数ｐはあるだろうか？

　　２^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

　そのような性質を満たすｐをひとつ見つけるだけでよいので，易しい問題に思えるかもしれない．しかし，この問題はなお未解決である．

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