【６】拡大体Ｆp^nにおける解の個数Ｎ(n)

　フェルマーの問題を拡張する方向としては，一つには指数を大きくすること，

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3　→　ｘ^m＋ｙ^m＝ｚ^m

もう一つには有限体の位数を増すこと，

　　Ｆp　→　Ｆq＝Ｆp^n　（Ｆpのｎ次拡大体：ｑ＝ｐ^n）

の２つの方向が考えられますが，ここでは後者について考えてみることにします．すなわち，この節で取り扱う範囲は

　　ｍ＼ｎ　１　２　３　４　５　・・・

　　１　　　○　○　○　○　○

　　２　　　○　○　○　○　○

　　３　　　○　○　○　○　○

　　５　　　×　×　×　×　×

　　７　　　×　×　×　×　×

ということになります．

　Ｆp^nの０でない元の全体は，位数ｐ^n−１の乗法群をなします．この群のすべての元は

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^(p^n-1)−１＝０，すなわち，ｘ^(p^n)＝ｘ

を満たします．また，

　　（ｘ＋ｙ）^p＝ｘ^p＋ｙ^p　　（和のｐ乗はｐ乗の和）

　　（ｘｙ）^p＝ｘ^pｙ^p　　　　（積のｐ乗はｐ乗の積）

ですから，ｐ乗の算法は体をなしています．一般に，

　　｛ｆ（ｘ）｝^p＝ｆ（ｘ^p）

が成立します．

［注］誤解を避けるために申し添えておきますが，たとえば，

　　Ｚ／９Ｚ＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８｝

（一般にＺ／ｐ^nＺ）では，有限環とはなっても有限体にはなりません．ｎ≧２ならば，Ｆp^nとＺ／ｐ^nＺはまったく違うものなのです．

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