ｐ＝５とｐ＝７で答えのパターンが違っていましたが，一般の素数ｐに対しては解の数はどのようになるのでしょうか？　他の場合も調べてみると　

　　ｐ　　Ｎp 　　ｐ＋１

　　２　　３　　　　○

　　３　　４　　　　○

　　５　　６　　　　○

　　７　　９　　　　×

　　11　　12　　　　○

　　13　　９　　　　×

　　17　　18　　　　○

　　19　　27　　　　×

　この表より，ｐを３で割った余りが注目されます．

1)３で割り切れる素数は３しかなく，Ｎ3＝４である．

2)ｐ＝２（ｍｏｄ３）の場合，Ｎp＝ｐ＋１が成り立つ．

　→じつはｐ＝３（ｍｏｄ２）の場合，３乗で表される数ｘ^3＝ａはただひとつの解をもち，このことからすんなりＮp＝ｐ＋１が証明される．

3)ｐ＝１（ｍｏｄ３）の場合，Ｎpは複雑である．

4)すべての素数についてＮp≧３である．

　→３個の解は（０，１，１），（１，０，１），（１，ｐ−１，０）で，等号はｐ＝２の場合に限る．

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