［２］ｎ＝２の場合はピタゴラス方程式ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2と呼ばれ，無数の解をもち，しかもすべての解をもれなく求めることのできる公式も知られています．

　有限体上で考えると，ｐ＝５では

　　ｘ　｜０，１，２，３，４

　　ｘ^2｜０，１，４，４，１

ですから

ｘ＼ｙ ０ １ ２ ３ ４

０ (0,0,0) (0,1,1) (0,2,2) (0,3,2) (0,4,1) (0,1,4) (0,2,3) (0,3,3) (0,4,4)

１ (1,0,1) (1,2,0) (1,3,0) (1,0,4)

２ (2,0,2) (2,1,0) (2,4,0) (2,0,3)

３ (3,0,2) (3,1,0) (3,4,0) (3,0,3)

４ (4,0,1) (4,2,0) (4,3,0) (4,0,4)

　(0,0,0)を除いた２４個の解で，たとえば，

　　（１，２，４）＝（２，４，３）＝（３，１，２）＝（４，３，１）

は同じ点とみなすことができるわけですから，４個ずつ組になり

　　Ｎ5＝２４／４＝６＝５＋１

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　ｐ＝７では

　　ｘ　｜０，１，２，３，４，５，６

　　ｘ^2｜０，１，４，２，２，４，１

より

ｘ＼ｙ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６

０ (0,0,0) (0,1,1) (0,2,2) (0,3,3) (0,4,3) (0,5,2) (0,6,1) (0,1,6) (0,2,5) (0,3,4) (0,4,4) (0,5,5) (0,6,6)

１ (1,0,1) (1,1,3) (6,1,3) (1,0,6) (1,1,4) (6,1,4)

２ (2,0,2) (2,2,1) (2,5,1) (2,0,5) (2,2,6) (2,5,6)

３ (3,0,3) (3,3,2) (3,4,2) (3,0,4) (3,3,5) (3,4,5)

４ (4,0,3) (4,3,2) (4,4,2) (4,0,4) (4,3,5) (4,4,5)

５ (5,0,2) (5,2,1) (5,5,1) (5,0,5) (5,2,6) (5,5,6)

６ (6,0,1) (6,1,3) (6,6,3) (6,0,6) (6,1,4) (6,6,4)

　(0,0,0)を除いた４８個の解で６個ずつ組になりますから

　　Ｎ7＝４８／６＝８＝７＋１

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　どちらも

　　Ｎp＝ｐ＋１

となりましたが，任意のｐにおいてこれが成り立つことは

　　ｘ^2＝ａ　　（ｍｏｄｐ）

においては

　　（ｐ−ｘ）^2＝ｘ^2　　（ｍｏｄｐ）

より，｛１，２，・・・，（ｐ−１）／２｝の各平方と｛ｐ−１，ｐ−２，・・・，（ｐ＋１）／２｝の各平方が合同となり，したがって半数が平方剰余，残りの半数が平方非剰余になることから理解されます．

　また，

　　ｘ^2｜０，１，４，４，１

　　ｘ^2｜０，１，４，２，２，４，１

のように最初の０を除いた部分は回文（前から読んでも後から読んでも同じ）になっているという事実もこのことから理解されるでしょう．

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