【１】ビール予想

A^x+B^y=C^z

という式を考える。

例えば、3^6+18^3=3^8

フェルマーの最終定理はx=y=zとなる、この式の特殊なケースと考えられる。

ビールが気付いたのはA,B,Cが必ず共通の約数を持っていることだった。

例えば、3^6+18^3=3^8の場合はすべて約数3をもっている

1/6+1/3+1/8＜1

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【１】フェルマー・カタラン予想

　　ａ^m＋ｂ^n＝ｃ^k

　　ａ，ｂ，ｃは互いに素，１／ｍ＋１／ｎ＋１／ｋ＜１

の解か存在しない．・・・この予想はまだ証明されていないが，これまでに

　　２^5＋７^2＝３^4

　　７^3＋１３^2＝２^9

　　３^5＋１１^4＝１２２^2

など１０個の解が見つかっている．

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　　ｘ^a＋ｙ^b＝ｚ^c，１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＜１

の解は以下の１０個しか知られていない．

［１］１＋２^3＝３^2

［２］２^5＋７^2＝３^4

［３］７^3＋１３^2＝２^9

［４］２^7＋１７^3＝７１^2

［５］３^5＋１１^4＝１２２^2

［６］１７^7＋７６２７１^3＝２１０６３９２８^2

［７］１４１４^3＋２２１３５９^2＝６５^7

［８］９２６２^3＋１５３１２２８３^2＝１１３^7

［９］４３^8＋９６２２２^3＝３００４２９０７^2

［10］３３^8＋１５４９０３４^2＝１５６１３^3

　フェルマー・カタラン方程式（ｘ，ｙ，ｚ）には，公約数をもたない整数解は有限個しかない．１９９７年にダルモンとメレルがｃ＝３で，ａ≧３，ｂ≧３であれば，解は存在しないことを証明した．

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