【４】マルコフ予想

コラッツ予想は，ループが巡回することなしに１０１０・・・０１０１にたどり着くかどうかという問題になる．同じ値が現れないことをみたが，同じ値が現れなければいつかは１に収束すると思われるので，コラッツ予想では巡回しないことが本質のように思える．

同様の未解決問題に，マルコフ予想があげられる．３元２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

のすべての解を求める問題は，たとえば３元３次の方程式ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3＝ｘ＋ｙ＋ｚの場合とは違って，ｘ，ｙ，ｚの各変数に関して２次式になっているので１つの解の中の数を使って別の解を作ることができます．

　ｚ＝ｘｙ／２・｛３±（９−４／ｘ^2−４／ｙ＾２）^1/2｝

であり，すべての解は特異解（１，１，１），（１，１，２）から生成されます．たとえば（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・はひとつの整数解が次の解を導き，

　　（ｘ，ｙ）＝（１，１）→ｚ＝１，２

　　（ｘ，ｙ）＝（１，２）→ｚ＝１，５

　　（ｘ，ｙ）＝（１，５）→ｚ＝２，１３

　　（ｘ，ｙ）＝（２，５）→ｚ＝１，２９

　ｘ≦ｙ≦ｚとしても一般性は失われませんが，特異解（１，１，１），（１，１，２）以外のすべての解はｘ，ｙ，ｚの値が相異なります（ｘ＜ｙ＜ｚ）．

　こうして，２次のディオファントス方程式ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚの解として現れる，

　　１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれます．

　大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式であるが，ここで３元２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・を並べると，各解は他の３つの解に相隣り合い，２分木のように配置する．真の２分木なのか，同じ値が２つの別のルートから生成されることがあり得るかは有名な未解決問題である．

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［１］補足

　（ｐ，ｑ，ｒ），（ｐ’，ｑ’，ｒ’）をともに整数解とし，ｐ≦ｑ≦ｒ，ｐ’≦ｑ’≦ｒ’と仮定する．このとき，ｒ＝ｒ’ならば，ｐ＝ｐ’かつｑ＝ｑ’である．

　この予想，すなわち，同じ値が２つの別のルートから生成されることがあり得るかはどうかは今日でも有名な未解決問題である．

［２］１≦ｘ≦ｙ≦ｚとしても一般性は失われない．

　　ｚ＝ｘｙ／２・｛３±（９−４／ｘ^2−４／ｙ＾２）^1/2｝

であり，（ｘ，ｙ）＝（１，１）からスタートすると

　　→ｚ^2＋２＝３ｚ→ｚ＝１，２→（１，１，１），（１，１，２）

（ｘ，ｙ）＝（１，２）からスタートすると→ｚ＝１，５→（１，１，２），（１，２，５）

　　（ｘ，ｙ）＝（１，１）→ｚ＝１，２

　　（ｘ，ｙ）＝（１，２）→ｚ＝１，５

　　（ｘ，ｙ）＝（１，５）→ｚ＝２，１３

　　（ｘ，ｙ）＝（２，５）→ｚ＝１，２９

［３］一般に（ａ，ｂ，ｃ）からスタートすると

（ａ，ｃ，３ａｃ−ｂ），ａ≦ｃ≦３ａｃ−ｂ

（ｂ，ｃ，３ｂｃ−ａ），ｂ≦ｃ≦３ｂｃ−ａ

も解となる．すると（１，１，１）には親がいないことになる．

［４］すべての解は特異解（１，１，１），（１，１，２）から生成される．

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