［Ｑ］所与の自然数ｎについて，

［１］１／（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋１／（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋１／（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）＝ｎ

［２］ａ／（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ／（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ／（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）＝ｎ

［３］ａ^2／（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ^2／（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ^2／（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）＝ｎ

［４］ａ^3／（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ^3／（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ^3／（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）＝ｎ

の自然数解（ａ，ｂ，ｃ）を求めよ．

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［A］

［１］１／（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋１／（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋１／（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）＝０

［２］ａ／（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ／（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ／（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）＝０

［３］ａ^2／（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ^2／（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ^2／（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）＝１

［４］ａ^3／（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ^3／（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ^3／（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）＝ａ＋ｂ＋ｃ

より，［１］［２］はｎ＝0，［３］はｎ＝1，［４］はｎ＝ａ＋ｂ＋ｃのとき，無限に整数解をもちます．

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