ｘ^2−Ｄｙ^2＝１とは違って，ｘ^2−Ｄｙ^2＝−１は解をもつとは限らない．たとえば，Ｄ＝３，６，７，８，１１，１２，・・・

などの場合は解をもたないのであるが，たまたま，これらは解をもつ．実際に解いてみると

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[１]ａn^2−２ｂn^2＝−１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（１，１）であることから，

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

　　（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√２

ですから，√２に最も近い最良近似分数を与えることがわかります．しかし，符号が交互に代わるため

　　ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）（３＋√２）^n-1（ａn＋ｂn√２）

　　　　　　　　　　＝（３ａn＋４ｂn）＋（２ａn＋３ｂn）√２

とすると

　　ａn+1＝３ａn＋４ｂn，ｂn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ａn+1＝３ａn＋４ｂn＝３ａn＋４（２ａn-1＋３ｂn-1）

　＝３ａnーａn-1＋３（３ａn-1＋４ｂn-1）＝６ａnーａn-1

　　ｂn+1＝２ａn＋３ｂn＝２（３ａn-1＋４ｂn-1）＋３ｂn

　＝３（２ａn-1＋３ｂn-1）ーｂn-1＋２ｂn＝６ｂnーｂn-1

これより，

　　ａn+1＝６ａnーａn-1，ｂn+1＝６ｂnーｂn-1

(a1,b1)=(1,1)

(a2,b2)=(7,5)

(a3,b3)=(41,29)

(a4,b4)=(239,169)

(a5,b5)=(1393,985)

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［２］ａn^2−１２ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（７，２）であることから，

　　（１＋√１２）^n＝ａn＋ｂn√１２

　　（１−√１２）^n＝ａn−ｂn√１２

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−１２ｂn^2＝１^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√１２

ですから，√１２に最も近い最良近似分数を与えることがわかります．

　　ａn+1＋ｂn+1√１２＝（１＋√１２）^n（ａn＋ｂn√１２）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋１２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√１２

より

　　ａn+1＝ａn＋１２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋１２ｂn＝ａn＋１２（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋１１ａn-1＋（ａn-1＋１２ｂn-1）＝２ａn＋１１ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋１２ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋１１ｂn-1＋ｂn＝２ｂn＋１１ｂn-1

これより，

　　ａn+1＝２ａn＋１１ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋１１ｂn-1

(a1,b1)=(7,2)

(a2,b2)=(31,9)

(a3,b3)=(139,40)

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[３]ａn^2−６ｂn^2＝−１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（５，２）であることから，

　　（１＋√６）^n＝ａn＋ｂn√６

　　（１−√６）^n＝ａn−ｂn√６

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−６ｂn^2＝（１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√６

ですから，√６に最も近い最良近似分数を与えることがわかります．

　　ａn+1＋ｂn+1√６＝（１＋√６）^n（ａn＋ｂn√６）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋６ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２

より

　　ａn+1＝ａn＋６ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋６ｂn＝ａn＋６（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋５ａn-1＋（ａn-1＋６ｂn-1）＝２ａn＋５ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋６ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋５ｂn-1＋ｂn＝２ｂn＋５ｂn-1

これより，

　　ａn+1＝２ａn＋５ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋５ｂn-1

(a1,b1)=(5.2)

(a2,b2)=(16,7)

(a3,b3)=(57,24)

(a4,b4)=(194,83)

(a5,b5)=(673,286)

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これよりm=24が解であることはわかったが，唯一であることは証明できるだろうか？　この問題は楕円曲線y^2=x(x+1/2)(x+1)/3上の整数点に帰着させるか，連立ペル方程式に帰着させるかであって，後者であれば双曲線上の整数交点の問題となる．第1象限の交点を考えれば，唯一解であることが理解される．

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