【１】マルコフ数

　３元２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

のすべての解を求める問題は，たとえば３元３次の方程式ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3＝ｘ＋ｙ＋ｚの場合とは違って，ｘ，ｙ，ｚの各変数に関して２次式になっているので１つの解の中の数を使って別の解を作ることができます．

　ｚ＝ｘｙ／２・｛３±（９−４／ｘ^2−４／ｙ＾２）^1/2｝

であり，すべての解は特異解（１，１，１），（１，１，２）から生成されます．たとえば（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・はひとつの整数解が次の解を導き，

　　（ｘ，ｙ）＝（１，１）→ｚ＝１，２

　　（ｘ，ｙ）＝（１，２）→ｚ＝１，５

　　（ｘ，ｙ）＝（１，５）→ｚ＝２，１３

　　（ｘ，ｙ）＝（２，５）→ｚ＝１，２９

　ｘ≦ｙ≦ｚとしても一般性は失われませんが，特異解（１，１，１），（１，１，２）以外のすべての解はｘ，ｙ，ｚの値が相異なるます（ｘ＜ｙ＜ｚ）．

　こうして，２次のディオファントス方程式ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚの解として現れる，

　　１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［補］３元２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・を並べると，各解は他の３つの解に相隣り合い，２分木のように配置する．真の２分木なのか，同じ値が２つの別のルートから生成されることがあり得るかは有名な未解決問題である．

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【２】３元３次のディオファントス方程式

　　ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3＝６ｘｙｚ

の唯一の解は（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，２，３）である．

【３】ｎ^x＋ｎ^y＝ｎ^z

の唯一の解はｎ＝２，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，２）である．

【４】３^x＋４^y＝５^z

の唯一の解は（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，２，２）である．

【５】５^x＋１２^y＝１３^z

の唯一の解は（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，２，２）である．

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