関数等式：Z(1-s)=Z(s)またはZ(1-s)=-Z(s)，

および

リーマン予想：Z(s)=0ならばRe(s)=1/2

が成り立つものをゼータ関数と呼ぶことにすると

ｎ次の実直交行列Uに対して

Z(s)=det(sIn-(s-1)U)=Π((1-α)s+α)

はゼータ関数になることが証明される。

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具体例について

［０　０　１　０　０　１］

［１　０　０　０　　　　］

［０　１　０　０　　　　］＝Un

［０　０　１　０　　　　］

［　　　　　　　　０　０］

［０　　　　　 　１　０］

のとき

det(xI-U)=x^n-1

Z(s)=det(sIn-(s-1)U)=Π((1-α)s+α)=s^2-(s-1)^n

SpecU={cos(2πk/n)+isin(2πk/n)}

Z(s)=0ならば

s/(s-1)=cos(2πk/n)+isin(2πk/n)

s=1/2+i/2・cot(kπ/n)

となる

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複素数θについて

K(θ)=1/2-i/2・cot(θ/2)

と定義する。

ユニタリ・ゼータ関数

Z(s)=det(sIn-(s-1)U)=Π((1-α)s+α)=s^2-(s-1)^n

Z(1)=1,Z(0)=det(U)

ζn(s)=nΠ(s-(1/2-i/2・cot(kπ/2))=nΠ(s-K(2πk/n))

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