■オイラー積と素数定理(その59)
ここでは対称行列Cnを扱う.
[0 1 0 0 -1]
[1 0 1 0 ]
1/2[0 1 0 1 ]=Cn
[0 0 1 0 ]
[ 0 1]
[-1 1 0]
det(xEn−Cn)=Φn(x)
Φn(x)=Π(x−cos(2k−1)π/n)と因数分解されて
cos((2k−1)π/n)を零点にもつことがわかる.
[Q](x1,・・・xn)がx1^2+x2^2+・・・+xn^2=1を)満たしながら動くとき,x1x2+x2x3+・・・+xn-1xnの最大値・最小値は?
[A]x1x2+x2x3+・・・+xn-1xnは
[0 1/2 0 0 0]
[1/2 0 1/2 0 ]
[0 1/2 0 1/2 ]=1/2・An
[0 0 1/2 0 ]
[ 0 1/2]
[0 1/2 0]
に対応する2次形式であるから,Cnの最大値・最小固有値を求めると
最大値はcos(π/n)
最小値は,nが偶数のとき−cos(π/n),nが奇数のとき−1
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