ガンマ関数の積についての有名な公式

　　Γ(x)Γ(1-x)＝π／ｓｉｎπｘ・・・相反公式（相補公式）

　　Γ(1/2+x)Γ(1/2-x)＝π／ｃｏｓπｘ

　　Γ(x)Γ(x+1/2)＝√πΓ(2x)／２^(2x-1)・・・乗法公式（倍数公式）

の相反公式（相補公式）

　　Γ(x)Γ(1-x)＝π／ｓｉｎπｘ

を用いると

　　ζ(s)=2Γ(1-s)sin(πs/2)(2π)^(s-1)ζ(1-s)

となりますが，さらに乗法公式（倍数公式）

　　Γ(x)Γ(x+1/2)＝√πΓ(2x)／２^(2x-1)

を用いれば

　　sin(πs/2)=π/Γ(s/2)Γ(1-s/2)=√πΓ((1-s)/2)/2^sΓ(1-s)Γ(s/2)

より

　　π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^((1-s)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s)

と整理されます．

　これは

　　ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)

の形にも書けるのですが，前者の方がより対称性の高い形でしょう．

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かくして、ゼータ関数の対称性はガンマ関数の対称性

Γ(s)Γ(1-s)=π/sinπs

に補ってもらうとs=1/2を対称軸とする左右対称な美しい形に書くことができることがわかりました．

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