【１】保型形式

　モジュラー関数は

　　ｚ→（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

に関して，ｋ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝ｋ（ｚ）を満たす関数である．

　この関数は変換ｚ→ｚ＋１に対して不変，ｚ→−１／ｚに対して簡単な性質が与えられるから，モジュラー群

　　ｚ→（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

を生成する．

　たとえば，Δ(z)は，重さ１２の保型形式

　　Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式の拡張（２４乗版）と考えられます．

　アイゼンシュタイン級数は変換公式

　　Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)

　　　　ｃ，ｄは互いに素，ａｄ−ｂｃ＝１

を満たします．保型性の定義から

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)

はすぐわかりますが，前者は周期性，後者は双対性と理解することができます．

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)　　　　（周期性）

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

　この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むというわけです．

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【２】絶対保型形式

　　ｆ（１／ｘ）＝Ｃｘ^ｰDｆ（ｘ），Ｃは定数，Ｄは重みと呼ばれる

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