Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

に対して，第０項から始まるように，パラメータをずらすと

　　Σ(n+1)^5/{exp(2π(n+1))-1}

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+2)^5/(n+1)^5･{exp(2π(n+1))-1}/{exp(2π(n+2))-1}

であるから超幾何級数では表せないことがわかる．それではどうやってこれらの級数を証明したらいいのだろうか？

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　アイゼンシュタイン級数

　　Ｅk(z)＝−Ｂk／２ｋ＋�買ﾐk-1（ｎ）ｑ^n

を用いれば，これらを証明できるということであった．

　　Ｅ6　→　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Ｅ2　→　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Ｅ4，ラマヌジャンのΔ　→　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

［参］黒川信重・栗原将人・斉藤毅「数論�U，Fermatの夢と類体論」岩波書店

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

にｚ＝ｉを代入すると−１／ｉ＝ｉになることを利用するのである．

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

（証）Ｅ6(-1/z)＝z^6Ｅ6(z)にｚ＝ｉを代入すると，Ｅ6(i)＝i^6Ｅ6(i)＝−Ｅ6(i)よりＥ6(i)=0

　　Ｅ6(i)＝１−５０４Σσ5(n)ｅｘｐ(-2πn)＝１−５０４Σn^5/{exp(2πn)-1}

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

（証）Ｅ2(-1/z)＝z^2Ｅ2(z)+6z/πiにｚ＝ｉを代入すると，Ｅ2(i)＝-Ｅ2(i)+6/πよりＥ2(i)=3/π

　　Σσ(n)ｅｘｐ(-2πn)＝Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

（証）レルヒの公式より，Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4

　　Ｅ4(i)＝１＋２４０Σσ3(n)ｅｘｐ(-2πn)＝１＋２４０Σn^5/{exp(2πn)-1}

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