区分的な解析接続ではなく，もっとうまい手があります．結論を先にいうと，ｓを複素変数とするとき，関数等式

　　ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)

を用いればζ(s)をｓ＝１（極）を除くすべての複素数に対して意味をもたせることができ，ｓを−１とすると値が−１／１２，２とすると値が０になるというわけです．Γはガンマ関数です．

　また，

ξ(s)=1/2s(s-1)π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

あるいは

ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

で定義すると

ξ(s)=ξ(1-s)

のように完全に左右対称な美しい形に書くことができます．ガンマ関数はゼータ関数の仲間と思ってほしい所以です．

　関数等式は

(1)ｓを複素変数として複素全平面への解析接続を与えることができること

(2)ζ(s)がRe(s)=1/2を対称軸とする美しい対称性をもっていること

を示しています．

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【１】関数等式の証明

　ゼータ関数とガンマ関数との間に

　　ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)t^(s-1)/(exp(s)-1)dt

　　ζ(s)=1/(1-2^(1-s))Γ(s)∫(0,∞)t^(s-1)/(exp(s)+1)dt

が成り立つのですが，まず，これらを導いてみましょう．

　　Γ(s)=∫(0,∞)t^(s-1)e^(-t)dt

にｔ＝ｎｘを代入するならば

　　Γ(s)/n^s=∫(0,∞)x^(s-1)e^(-nx)dx

が得られる．この式のｎについての総和をとるなら

　　ΣΓ(s)/n^s=Σ∫(0,∞)x^(s-1)e^(-nx)dx

　　　　　　　 =∫(0,∞)x^(s-1)e^(-x){1+e^(-x)+e^(-2x)+･･･}dx

　　　　　　　 =∫(0,∞)x^(s-1)e^(-x)/(1-e^(-x))dx

∵　１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・１／（１−ｘ）

　　　　　　　 =∫(0,∞)x^(s-1)/(e^x-1)dx

これより

　　Γ(s)ζ(s)=∫(0-∞)x^(s-1)/(e^x-1)dx

が得られます．

　また，交代級数

　　φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+･･･=Σ(-1)^(n-1)/n^s

を考えます．負項を正項に変えて，あとでその２倍を引きます．

　　φ(s)=(1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+･･･)-2(1/2^s+1/4^s+･･･)

　　　　 =(1-2^(1-s))ζ(s)

となります．

　　ΣΓ(s)(-1)^(n-1)/n^s

=Σ∫(0,∞)x^(s-1)(-1)^(n-1)e^(-nx)dx

=∫(0,∞)x^(s-1)e^(-x){1-e^(-x)+e^(-2x)-･･･}dx

=∫(0,∞)x^(s-1)e^(-x)/(1+e^(-x))dx

∵　１−ｘ＋ｘ2 −ｘ3 ＋・・・＝１／（１＋ｘ）

=∫(0,∞)x^(s-1)/(e^x+1)dx

これより

　　Γ(s)ζ(s)(1-2^(1-s))=∫(0-∞)x^(s-1)/(e^x+1)dx

が得られます．

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　次に，ガンマ関数の積についての有名な公式

　　Γ(x)Γ(1-x)＝π／ｓｉｎπｘ・・・相反公式（相補公式）

　　Γ(1/2+x)Γ(1/2-x)＝π／ｃｏｓπｘ

　　Γ(x)Γ(x+1/2)＝√πΓ(2x)／２^(2x-1)・・・乗法公式（倍数公式）

の相反公式（相補公式）

　　Γ(x)Γ(1-x)＝π／ｓｉｎπｘ

を用いると

　　ζ(s)=2Γ(1-s)sin(πs/2)(2π)^(s-1)ζ(1-s)

となりますが，さらに乗法公式（倍数公式）

　　Γ(x)Γ(x+1/2)＝√πΓ(2x)／２^(2x-1)

を用いれば

　　sin(πs/2)=π/Γ(s/2)Γ(1-s/2)=√πΓ((1-s)/2)/2^sΓ(1-s)Γ(s/2)

より

　　π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^((1-s)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s)

と整理されます．

　これは

　　ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)

の形にも書けるのですが，前者の方がより対称性の高い形でしょう．

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