リーマン予想はゼータ関数の零点についての問題だったのであるが、深リーマン予想ではオイラー積の収束の問題を扱っている。

一見別種の問題に思えるが、パラダイムの変換である。

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【１】リーマン予想

　ゼータ関数は，整数をわたる無限和（ディリクレ級数）

　　ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s

として定義される関数である．

　ゼータ関数の複素零点は

　　ζ（１／２＋ｉ１４．１３４７２５・・・）＝０

　　ζ（１／２＋ｉ２１．０２２０４０・・・）＝０

　　ζ（１／２＋ｉ２５．０１０８５６・・・）＝０

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

と続く．

　また，ゼータ関数は素数全体をわたる無限積

　　ζ（ｓ）＝Π（１−ｐ^(-1)）^(-1)

　　　　　　＝Π（1+1/p^s+1/p^2n+1/p^3n+･･･）

　　　　　　＝（1+1/2^s+1/2^2n+1/2^3n+･･･）（1+1/3^s+1/3^2n+1/3^3n+･･･）（1+1/5^s+1/5^2n+1/5^3n+･･･）･･･

に等しいことがわかっている．右辺

　　Π（１−ｐ^(-1)）^(-1)

はディリクレ級数を丸ごと素因数分解したようなものであって，オイラー積と呼ばれる．

　１８５９年，リーマンはゼータ関数ζ（ｓ）の複素零点はすべて実部が１／２であるという仮説を発表した．これがかの有名なリーマン仮説であるが，１４０年以上経たいまも証明されないままになっている．そのため，数学における未解決問題のうち最も難しいものと考える人も多い．

　リーマン予想は，一部に素数定理なども含む数学上の最大の難問であって，素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

を精密化する問題と考えることができる．

　部分積分により

　　∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ＝ｘ／ｌｏｇｘ＋１！ｘ／（ｌｏｇｘ）^2＋・・・＋（ｍ−１）！ｘ／（ｌｏｇｘ）^m＋・・・

であるから，素数定理はπ（ｘ）の初項だけを求めた定理であるといえるだろう．そこで素数に関する未解決問題を解くにはリーマン予想の証明が重要になってくるのである．

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