【６】リーマン予想と深リーマン予想

ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にあるというのが有名なリーマン予想ですが，リーマン予想は，一部に素数定理なども含む数学上の最大の難問であって，素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

を精密化する問題と考えることができます．その同値な言い換えは

［１］リーマン予想の言い換え

任意のα＞1/2に対し，L(s)のオイラー積はRe(s)=αで収束し，その値はL（ｓ）に等しい

　一方，

［２］深リーマン予想は，ｓ＝1/2でL(s)のオイラー積は収束し，その値は√２Ｌ（1/2）になるというものである．√２はｓ=1/2のときだけ発生する因子である．

深リーマン予想は，リーマン予想を内包していて，L(s)のオイラー積が

［１］ Re(s)>1で絶対収束　⇔　素数が無数に存在する

［２］ Re(s)=1で条件収束　⇔　素数定理

［３］ 1/2［４］ Re(s)=1/2で条件収束　⇔　深リーマン予想

という図式になる．

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