【３】オイラーの計算

すべての奇数の逆数を＋と−を交互に加算・減算すると，グレゴリー・ライプニッツ級数

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋１／１３−１／１５＋・・・

が得られます．これはπと奇数との関係式ですが，オイラーはさらにπと素数との関係式を明示するに至りました．

　　Ａ＝１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋１／１３−１／１５＋・・・

　　Ａ／３＝１／３−１／９＋１／１５−１／２１＋１／２７−１／３３＋１／３９−１／４５＋・・・

　左辺同士，右辺同士を加算すると，分母が３で割れる項はすべて消失し

　　Ｂ＝（１−１／３）Ａ＝１＋１／５−１／７−１／１１＋１／１３＋１／１７−１／１９−１／２３＋・・・

　　Ｂ／５＝１／５＋１／２５−１／３５−１／５５＋１／６５＋１／８５−１／９５−１／１１５＋・・・

　左辺同士，右辺同士を減算すると，分母が５で割れる項はすべて消失し

　　Ｃ＝（１−１／５）Ｂ＝１−１／７−１／１１＋１／１３＋１／１７−１／１９−１／２３＋・・・

　このような作業を続けると

　　Ｄ＝（１＋１／７）Ｃ

　　Ｅ＝（１＋１／１１）Ｄ

　　Ｆ＝（１−１／１３）Ｅ

　　・・・・・・・・・・・

　つまり，

［１］ｐ＝３　　（ｍｏｄ４）→（１＋１／ｐ）

［２］それ以外→（１−１／ｐ）

より，

　　Ａ・（１＋１／３）・（１−１／５）・（１＋１／７）・（１＋１／１１）・（１−１／１３）・・・＝１

　　π／４・（３＋１）／３・（５−１）／５・（７＋１）／７・（１１＋１）／１１・（１３−１）／１３・・・＝１

　かくして

　　π＝４・３／（３＋１）・５／（５−１）・７／（７＋１）・１１／（１１＋１）・１３／（１３−１）・・・

が得られます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝