［１］コッホの同値条件（１９０１年）

　リーマン予想＝「ｎとｎ＋ｋ√ｎの間に素数はある」ですが，

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^1/2ｌｏｇｘ）

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜≦Ｃ・ｘ^1/2ｌｏｇｘ

　　Ｌｉ（ｘ）＝∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ

　もう少し精緻化すると，２６５７以上のすべてのｘについて，

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜≦Ｃ・ｘ^1/2ｌｏｇｘ

　　Ｃ＝１／８π

が成り立つことと論理的に同等です．

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［２］ラガリアスの同値条件（２００２年）

　ｎの約数の和をσ（ｎ）で表すと，リーマン予想は

　　σ（ｎ）≦Ｈn＋ｌｏｇＨnｅｘｐＨn

がｎ≧１に対して成立すると等価です．

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［３］ロバンの同値条件（１９８４年）

　オイラーの定数γを用いると，リーマン予想は

　　σ（ｎ）＜ｅｘｐγｎｌｏｇｌｏｇｎ

がｎ＞５０４０に対して成立すると等価です．

　［２］［３］は初等的な条件になっていて，さらに

　　Am=B(m+1)Hm/(m+1)-ζ’(-m)

にも調和級数のｎ次部分和

　　Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

が関わっているのを見ると，リーマン予想との関係が想起されます．

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　素数定理より，素数ｐとその次の素数との間隔は，平均してｌｏｇｐですが，リーマン予想が真であれば，素数ｐとその次の素数との間隔は，ある定数Ｃを用いて

　　Ｃ√ｐ・ｌｏｇｐ

以下であることが，１９３６年，クラメールにより証明されています．

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