［参］黒川信重「リーマン予想の先へ」東京図書

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【１】オイラーのゼータ関数（１７３７年）

　１７３７年，オイラーは２つのゼータ関数を導入した．

［１］ζ（ｓ）＝Π（１−ｐ^-s）^-1

＝（１−２^-s）^-1・（１−３^-s）^-1・（１−５^-s）^-1・（１−７^-s）^-1・・・・

＝１＋２^-s＋３^-s＋４^-s＋５^-s＋・・・

［２］Ｌ（ｓ）＝Π（１−（−１）^(p-1)/2ｐ^-s）^-1

＝（１＋３^-s）^-1・（１−５^-s）^-1・（１＋７^-s）^-1・・・

＝１−３^-s＋５^-s＋７^-s−９^-s＋・・・

＝Σ（４ｎ＋１）^ｰs−Σ（４ｎ＋３）^ｰs

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【２】メルテンスの定理（１８７４年）

　　Π（１−１／ｐ）^-1＝ｅｘｐγｌｏｇｘ

　また，

　　Π(1,N)（１−１／２ｎ）＝Π（２ｎ−１）／２ｎ＝（２Ｎ）！／２^2N（Ｎ！）^2

スターリングの公式より

　　Π(1,N)（１−１／２ｎ）〜１／√πＮ

同様にして

　　Π(1,N)（１＋１／（２ｎ−１）〜√πＮ

　以上により

　　Π(1,aN)（１−１／２ｎ）〜１／√πａＮ

　　Π(1,bN)（１＋１／（２ｎ−１）〜√πｂＮ

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【３】メルテンス型定理

　Σ（１／ｐ）はｘに近い整数について，その素因数の個数の近似値を与えるもので，ハーディーとラマヌジャンにより明らかにされています．

　　１２＝２×２×３・・・素因数は３個

　　１４＝２×７・・・素因数は２個

　　１６＝２×２×２×２・・・素因数は４個

素因数の数はｌｏｇｌｏｇｎにほぼ等しい．

　メルテンス型定理とは

　　Σ（１／ｐ）〜ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）　（ｐはｐ≦ｘの素数を動く，証明略）

といったことを一般的に考えたものです．

　４で割って１余る素数をｐ，４で割って３余る素数をｑとする．

　　Π（１−１／ｐ）^-1〜Ｃ√（ｌｏｇｘ）

　　Π（１＋１／ｑ）^-1〜／π４Ｃ√（ｌｏｇｘ）

ｐ＜ｘ^a，ｑ＜ｘ^bとすると

　　Π（１−１／ｐ）^-1×Π（１＋１／ｑ）^-1＝π／４・√（ａ／ｂ）

　ａ＝ｂ＝１のとき

　　Π（１−１／ｐ）^-1×Π（１＋１／ｑ）^-1＝π／４（グレゴリー・ライプニッツ級数）

　　（１＋１／３）^-1（１−１／５）^-1（１＋１／７）^-1（１＋１／１１）^-1（１−１／１３）^-1・・・

　ａ＝２，ｂ＝１のとき

　　Π（１−１／ｐ）^-1×Π（１＋１／ｑ）^-1＝π／２√２

　　（１−１／５）^-1（１＋１／３）^-1（１−１／１３）^-1（１−１／１７）^-1（１−１／２９）^-1・・・

　すなわち，素数の並び方を変えると絶対収束しない．積の順序はむやみに変更してはいかないのである．

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［比較］一般に，

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

の項の順序を，正の項をｍ個，負の項をｎ個ずつ交互に並べ替えてできる級数の和は

　　ｌｏｇ２＋１／２・ｌｏｇｍ／ｎ

となる．

［１］ｍ＝２，ｎ＝１→３／２ｌｏｇ２

［２］ｍ＝１，ｎ＝２→１／２ｌｏｇ２

　いままでのリーマン予想研究では，オイラー積は絶対収束域内のみで意味をもつとされてきたが，「オイラー積をそのまま考えよう」ということはたとえ絶対収束でなくても意味をもつということなのであろう．

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