オイラーは４で割って１余る素数と４で割って３余る素数が同数存在することも発見しました。

1/5+1/13+1/17+・・・＋1/ｘ〜1/2・loglogx

1/3+1/7+1/11+・・・＋1/ｘ〜1/2・loglogx

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【１】Ｌ級数のオイラー積

1-1/3+1/5-1/7-1/11+1/13+1/17+・・・

をオイラーのＬ級数と呼びますが、Ｌ級数もオイラー積表示を持ちます。

1-1/3+1/5-1/7-1/11+1/13+1/17+・・・

=(1-1/3+1/3^3-1/3^4+・・・)(1+1/5+1/5^3+1/5^4+・・・)(1-1/7+1/7^3-1/7^4+・・・)(1-1/11+1/11^3-1/11^4+・・・)(1+1/13+1/13^3+1/13^4+・・・)(1+1/17+1/17^3+1/17^4+・・・)・・・

=Π(1+c(p)/p+(c(p)/p)^2)+(c(p)/p)^3+・・・)

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【２】ディリクレの算術級数定理(1837年)

オイラーは４で割った余り

1/5+1/13+1/17+・・・＋1/ｘ〜1/2・loglogx

1/3+1/7+1/11+・・・＋1/ｘ〜1/2・loglogx

のみならず、３で割った余りにも同様の結果が出ることを見出しました。

これをNで割った余りにも一般化した定理はディリクレの算術級数定理と呼ばれています。オイラー積の発見から100年後のことでした

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