楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ｋ　　　（ｋ：整数）

の有理点に関して，たとえば，

ｋ＝−２：無限に多くの有理点をもつ

ｋ＝１　：（０，±１），（−１，０），（２，±３）以外に有理点をもたない

ｋ＝−５：決して有理点をもたない

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ｙ^2＝ｘ^3＋２では整数点(-1，±１）が見つけられます。

一般に、y^2=x^3+ax+bとy=px+qの交点のx座標は(px+q)^2=x^3+ax+bの解として得られますが、直線y=px+qが２個の有理点を結んだも

のとすると２個は選んだ点なので有理数、また、３根の和はp^2なので、残りの１個も有理数となります。

ｙ^2＝ｘ^3＋２の場合は整数点(-1，１）で接線を引くと

2yy'=3x^2,y'=3x^2/2y=3/2

y-1=3/2・(x+1)、y=3/2・(x+5/3)

9/4(x^2+10/3x+25/9)=x^3+2

9(x^2+10/3x+25/9)=4x^3+8

9x^2+30x+25=4x^3+8

2601/16+510/4+25=4913/16+8

2601+2040+400=4913+128=5041

(17/4,71/8)はｙ^2＝ｘ^3＋２上の有理点である。→芋づる式に有理点を見つけ出すことができて、無限に多くの有理点をもつことがわかる

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ｙ^2＝ｘ^3＋17では整数点(-1，±4）が見つけられます。→芋づる式に有理点を見つけ出すことができて、無限に多くの有理点をもつことがわかる

(4,9)を出発点とすると→芋づる式に有理点を見つけ出すことができて、無限に多くの有理点をもつことがわか

したがって、無限個の有理点が２セットあることになる（ランク２）

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ｙ^2＝ｘ^3ー８２ｘでは無限個の有理点が３セットある（ランク３）

ｙ^2＝ｘ^3ーｘ^2ー24649ｘ+１３５５２０９では無限個の有理点が４セットある（ランク４）

楕円曲線が与えられたとき、そのランクはどうすれば決定できるのか？は超難問でしたが、それに対してはＢＳＤ予想がたてられています。

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