［１］３辺の長さがすべて整数、かつ面積が平方数の直角三角形は存在するか？

［２］y^2=x^3-xの(0,0),(±1,0)以外の有理数解をもつか？

［３］方程式x^4+y^4=z^4は自明でない整数解をもつか？

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[1]

連立２次のディオファントス方程式：

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−ｙ^2＝ｗ^2

の自明でない自然数解を考えてみましょう（フィボナッチの問題）．ただし，ｙ＝０なる解は必ずあるわけですから，どのｘ，ｙ，ｚ，ｗも０でないものとします．

　実は，そのような答えをもたないことがフェルマーによって証明されていて，それがフィボナッチ・フェルマーの定理です．フィボナッチは西暦１２００年頃，解は存在しないことを予想していたのですが，４００年後にフェルマー得意の無限降下法によって証明が与えられました．

　この定理を応用すると，

「３辺の長さが自然数であるような直角三角形と同じ面積をもつ，辺の長さが自然数の正方形は存在しない（ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，ｘｙ＝２ｔ^2）」

ｘ^2＋４ｔ^4/ｘ^2＝ｚ^2

ｘ^4＋４ｔ^4＝（ｘｚ）^2

「ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^2の自然数解はない」

「ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4の自然数解はない（ｎ＝４の場合のフェルマー予想）」

などが証明できます．

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[2]

　楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3＋１の整数解は，これには整数点は（２，±３），（０，±１），（−１，０）の５つしかありません．また，この楕円曲線には有理点もやはりこの５つしかないのです．これより，１以外の３角数は立方数ではないことが導かれますが、さらにｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4の自然数解(a,b,c)が存在したと仮定すると

a^4+b^4=c^4

a^4c^2/b^6+c^2/b^2=c^6/b^6

a^4c^2/b^6=c^6/b^6-c^2/b^2

つまり楕円曲線y^2=x^3-x上に有理点(c^2/b^2,a^2c/b^2)が存在することになり、矛盾。

このようにして、フェルマーは３つの問題のどれかが存在すれば、ほかの２つも存在することを示し、楕円曲線y^2=x^3-xからほかの２つは存在しないことを導きました

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　楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ｋ　　　（ｋ：整数）

の有理点に関して，たとえば，

ｋ＝−２：無限に多くの有理点をもつ

ｋ＝１　：（０，±１），（−１，０），（２，±３）以外に有理点をもたない

ｋ＝−５：決して有理点をもたない

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ｙ^2＝ｘ^3＋２では整数点(-1，±１）が見つけられます。

一般に、y^2=x^3+ax+bとy=px+qの交点のx座標は(px+q)^2=x^3+ax+bの解として得られますが、直線y=px+qが２個の有理点を結んだも

のとすると２個は選んだ点なので有理数、また、３根の和はp^2なので、残りの１個も有理数となります。

ｙ^2＝ｘ^3＋２の場合は整数点(-1，１）で接線を引くと

2yy'=3x^2,y'=3x^2/2y=3/2

y-1=3/2・(x+1)、y=3/2・(x+5/3)

9/4(x^2+10/3x+25/9)=x^3+2

9(x^2+10/3x+25/9)=4x^3+8

9x^2+30x+25=4x^3+8

2601/16+510/4+25=4913/16+8

2601+2040+400=4913+128=5041

(17/4,71/8)はｙ^2＝ｘ^3＋２上の有理点である。→芋づる式に有理点を見つけ出すことができて、無限に多くの有理点をもつことがわかる

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