曲線上の有理点全体を１つの変数の有理式として表すことのできる曲線を有理曲線といいます．楕円曲線は有理曲線でないことが知られています．

（２次曲線）

　原点を中心とする半径１の円：ｘ^2＋ｙ^2＝１の円周上のひとつの有理点が（０，１）です．この点を通る直線ｙ＝ｍｘ＋１と単位円との交点は，代入して因数分解すれば

　　ｘ^2＋（ｍｘ＋１）^2＝１

　　ｘ（（１＋ｍ^2）ｘ＋２ｍ）＝０

より

　　ｘ＝（２ｍ）／（１＋ｍ^2），

　　ｙ＝ｍｘ＋１＝（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2）

と表すことができます．これによって，円周上の点（ｘ，ｙ）が有理点であるためには，ｍが有理数であることが必要十分条件であることがわかります．すなわち，単位円上のすべての有理点は，ｍの関数

　　ｘ＝（２ｍ）／（１＋ｍ^2），

　　ｙ＝±（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2） で表すことができます．

　ｘ^2＋ｙ^2＝２（半径√２の円）において（１，１）は有理点で，この点を通る直線の方程式：ｙ−１＝ｍ（ｘ−１）を（ｘ^2−１）＋（ｙ^2−１）＝０に代入して因数分解すると

　　ｘ＝（ｍ^2−２ｍ−１）／（ｍ^2＋１）

　　ｙ＝（−ｍ^2−２ｍ＋１）／（ｍ^2＋１）

が得られます．ｍ＝∞に対応する（１，−１）も有理点です．

　このように，円の有理点全体は１つの変数ｍによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかであって，たとえば，ｘ^2＋ｙ^2＝３（半径√３の円）の上には有理点は１つも存在しません．このことは，互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れないということからわかります．

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　互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．

［証］

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．

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ｘ^2＋ｙ^2＝３（半径√３の円）の上に有理点(A/C,B/C)、A,B,Cは同じ数では割り切れない・・・が存在したと仮定する。

(A/C)^2+(B/C)^2=3

A^2+B^2=3C^2

右辺は3の倍数→左辺は3の倍数→AもB３の倍数である→仮定に反します．

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