［１］３辺の長さがすべて整数、かつ面積が平方数の直角三角形は存在するか？

［２］y^2=x^3-xの(0,0),(±1,0)以外の有理数解をもつか？

［３］方程式x^4+y^4=z^4は自明でない整数解をもつか？

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　曲線上の有理点全体を１つの変数の有理式として表すことのできる曲線を有理曲線といいます．楕円曲線は有理曲線でないことが知られています．

（２次曲線）

　原点を中心とする半径１の円：ｘ^2＋ｙ^2＝１の円周上のひとつの有理点が（０，１）です．この点を通る直線ｙ＝ｍｘ＋１と単位円との交点は，代入して因数分解すれば

　　ｘ^2＋（ｍｘ＋１）^2＝１

　　ｘ（（１＋ｍ^2）ｘ＋２ｍ）＝０

より

　　ｘ＝（２ｍ）／（１＋ｍ^2），

　　ｙ＝ｍｘ＋１＝（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2）

と表すことができます．これによって，円周上の点（ｘ，ｙ）が有理点であるためには，ｍが有理数であることが必要十分条件であることがわかります．すなわち，単位円上のすべての有理点は，ｍの関数

　　ｘ＝（２ｍ）／（１＋ｍ^2），

　　ｙ＝±（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2） で表すことができます．

　ｘ^2＋ｙ^2＝２（半径√２の円）において（１，１）は有理点で，この点を通る直線の方程式：ｙ−１＝ｍ（ｘ−１）を（ｘ^2−１）＋（ｙ^2−１）＝０に代入して因数分解すると

　　ｘ＝（ｍ^2−２ｍ−１）／（ｍ^2＋１）

　　ｙ＝（−ｍ^2−２ｍ＋１）／（ｍ^2＋１）

が得られます．ｍ＝∞に対応する（１，−１）も有理点です．

　このように，円の有理点全体は１つの変数ｍによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかであって，たとえば，ｘ^2＋ｙ^2＝３（半径√３の円）の上には有理点は１つも存在しません．このことは，互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れないということからわかります．

（３次曲線）

　デカルトの正葉線：ｘ^3−３ａｘｙ＋ｙ^3 ＝０（ａ＞０）

は原点（０，０）を通ったところでループを描き自分自身と交差し，その後はｙ＝−ｘ−ａを漸近線とする長くゆるやかに曲がった弓形曲線を描きながら（∞，−∞），（−∞，∞）に遠ざかっていきます．すなわち，ｘ＋ｙ＋ａ＝０を漸近線とする３次曲線ですが，原点（０，０）が有理点ですから，ｙ＝ｍｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．

　　ｘ＝３ａｍ／（１＋ｍ^3），

　　ｙ＝３ａｍ^2／（１＋ｍ^3）

　この３次曲線は重根をもち，原点（０，０）が特異点になります．そのため，この曲線上のすべての有理点を，このようにパラメトライズすることができました．同様に，ｙ^2＝ｘ^3やｙ^2＝ｘ^2（ｘ＋１）は楕円曲線ではありません．前者は（ｔ^3，ｔ^2），後者は（ｔ^2−１，ｔ（ｔ^2−１））とパラメトライズできます．一般に，ｆ（ｘ，ｙ）＝０が３次式のとき，その曲線上に特異点と呼ばれる点が存在するかどうかで，曲線のもつ性質が大きく異なってきます．

（４次曲線）

　２定点（−ａ，０），（ａ，０）からの距離の和が一定となる点の軌跡は楕円，差が一定の点の軌跡は双曲線です．また，商が一定の点は円（アポロニウスの円）を描きます．それでは積が一定の点はどのよう軌跡を描くでしょうか．

（答）はカッシーニ曲線．

　　｛（ｘ＋ａ）^2 ＋ｙ^2 ｝｛（ｘ−ａ）^2 ＋ｙ^2 ｝＝ｃ^2

　　（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 −２ａ^2 （ｘ^2 −ｙ^2 ）＝ｃ^2 −ａ^4

　　ｒ^4 −２ａ^2 ｒ^2 ｃｏｓ２θ＋ａ^4 ＝ｃ^2

　２次の多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０，すなわち楕円，放物線，双曲線が円錐を平面で切断したときの切り口として現れたように，カッシーニ曲線はトーラス（ドーナツ）の平面による切断面として現れることが知られています．

　定数ｃが２定点間の距離の半分ａの２乗に等しいとき，レムニスケート（双葉曲線）と呼ばれます．レムニスケートは８の字形（８を９０°回転させ横向きにした∞形）をしていて，その直交座標系での方程式は４次曲線（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝２ａ^2 （ｘ^2 −ｙ^2 ），極座標系ではｒ^2 ＝２ａ^2 ｃｏｓ２θとなります．とくに，２定点を（−１／√２，０），（１／√２，０）と定めると，レムニスケートの方程式は極座標で書くとｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，直交座標で書くと（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 となります．したがって，極座標による式のほうが，直交座標による式よりかるかに簡単です．

　また，ａ＝１／√２のとき，レムニスケートは，

　　ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

　　ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

ここで，

　　ｔ＝ｔａｎ（θ／２）

を使うと

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

と表示されますから，

　　ｘ＝ｔ（ｔ^2＋１）／（１＋ｔ^4 ）

　　ｙ＝−ｔ（ｔ^2−１）／（１＋ｔ^4 ）

のようにパラメトライズすることができます．

　レムニスケートには円に共通する性質があり、定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．なお，

　　ｘ^2 ＋ｙ^2 −ｚ^2 ＋（ｘ^2 ＋ｙ^2 ＋ｚ^2）^2 ＝０

は，レムニスケートをその主軸の回りに回転することによって生成される曲面です．

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