［１］３辺の長さがすべて整数、かつ面積が平方数の直角三角形は存在するか？

［２］y^2=x^3-xの(0,0),(±1,0)以外の有理数解をもつか？

［３］方程式x^4+y^4=z^4は自明でない整数解をもつか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[1]

連立２次のディオファントス方程式：

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−ｙ^2＝ｗ^2

の自明でない自然数解を考えてみましょう（フィボナッチの問題）．ただし，ｙ＝０なる解は必ずあるわけですから，どのｘ，ｙ，ｚ，ｗも０でないものとします．

　実は，そのような答えをもたないことがフェルマーによって証明されていて，それがフィボナッチ・フェルマーの定理です．フィボナッチは西暦１２００年頃，解は存在しないことを予想していたのですが，４００年後にフェルマー得意の無限降下法によって証明が与えられました．

　この定理を応用すると，

「３辺の長さが自然数であるような直角三角形と同じ面積をもつ，辺の長さが自然数の正方形は存在しない（ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，ｘｙ＝２ｔ^2）」

ｘ^2＋４ｔ^4/ｘ^2＝ｚ^2

ｘ^4＋４ｔ^4＝（ｘｚ）^2

「ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^2の自然数解はない」

「ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4の自然数解はない（ｎ＝４の場合のフェルマー予想）」

などが証明できます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[2]

フェルマーは３つの問題のどれかが存在すれば、ほかの２つも存在することを示し、楕円曲線y^2=x^3-xからほかの２つは存在しないことを導きました

　ところで，放物線，楕円，双曲線はまとめて円錐曲線とも呼ばれますが，２次式で定義されるので，２次曲線ともいいます．そして，無限遠点を導入して，考えている曲線を射影曲線として捉えると，２次曲線はひとつのものとして統一的に考えられるようになります（射影幾何）．なぜなら，違いは無限遠直線の選び方（無限遠直線と交わらない，接する，交わる）にあるだけであって，どれも同種の曲線と考えることができるからです．

　一方，３次曲線は，射影変換を用いれば次のいずれかに変換されます．

　　(1)ｙ^2＝ｘ^3

　　(2)ｙ^2＝ｘ^2（ｘ−１）

　　(3)ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）

　(1)は「く」の字型曲線で原点で尖点をもちます．(2)は「の」の字型曲線で原点を通ったところでループを描いて自分自身と交差しますから，原点が２重点となります．(3)はループと弓形曲線の２つに分離します．すなわち，(1)(2)は特異点をもち，(3)は非特異です．したがって，滑らかな非特異３次曲線は(3)の標準形に表せます．

　特異点を有する(1)(2)は

　　ｙ^2＝ｘ^3　→　（ｔ^3，ｔ^2）

　　ｙ^2＝ｘ^2（ｘ−１）　→　（ｔ^2＋１，ｔ（ｔ^2＋１））

より，曲線上のすべての有理点をパラメトライズすることができます．すなわち有理曲線ですが，それに対して，(3)のように，３次曲線が異なる３根をもつ有理係数の多項式の場合は，楕円曲線と呼ばれる非有理曲線で，２次曲線とは本質的に異なってきます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝