周期とは「有理数のみをもって表せる基本的な関数の有理数を用いて表せる領域における定積分の値を言う表示を持つ数」なのですが、

たとえば

logx=∫(0,x)dt/t

より、log2やlog3はすべて周期だとわかります。

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【１】コンチェビッチ・ザギエの予想

２つの周期α=∫ω1とβ=∫ω2が実数として等しければ、α=∫ω1をβ=∫ω2に変形可能である。

[1]被積分関数および積分領域の線形性

[2]積分の変数変換

[3]ストークスの定理

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[1],[2]については

log2+log3=∫(1,2)dx/x+∫(1,3)dy/y

=∫(1,2)dx/x+∫(2,6)dx/x (y=2x)

=∫(1,6)dx/x (積分区間の結合)

=log6

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[3]については微分積分学の基本定理で、区分求積法と現在の標準的な積分法を比較してみましょう．サイクロイドは回転角を媒介変数として回転円の半径をａとすると

　　ｘ＝ａ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ａ（１−ｃｏｓθ）

と書くことができます．

　　ｄｘ／ｄθ＝ａ（１−ｃｏｓθ）＝ｙ，ｄｙ／ｄθ＝ａｓｉｎθ

　　ｄ^2ｘ／ｄθ^2＝ａｓｉｎθ，ｄ^2ｙ／ｄθ^2＝ａｃｏｓθ

　　ｄ^3ｘ／ｄθ^3＝ａｃｏｓθ，ｄ^3ｙ／ｄθ^3＝−ａｓｉｎθ

より，

　　ｄｙ／ｄｘ＝ｓｉｎθ／（１−ｃｏｓθ）

　　ｄ^2ｙ／ｄｘ^2＝ｃｏｔθ

　　ｄ^3ｙ／ｄｘ^3＝−ｔａｎθ

面積は積分

Ｓ＝∫ｘｄｙ＝−∫ｙｄｘ

によって求められますが，サイクロイド類では，ストークスの公式

Ｓ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

を使った方が対称性が保たれ，計算しやすいようです．

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［１］回転円の半径が1のサイクロイド

　　ｘ＝θ−ｓｉｎθ

　　ｙ＝１−ｃｏｓθ

の弧とｘ軸で囲まれる図形の面積は，

　　ｄｘ＝（１−ｃｏｓθ）ｄθ

　　ｄｙ＝ｓｉｎθｄθ

　　ｘｄｙ−ｙｄｘ＝（θ−ｓｉｎθ）ｓｉｎθｄθ−（１−ｃｏｓθ）^2ｄθ

＝（−２＋２θｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ）ｄθ

　Ｓ＝−１／２・∫(0,2π)（ｘｄｙ−ｙｄｘ）＝３π

［２］回転円の半径が1のサイクロイド（０≦θ≦２π）の弧長は？

　　ｄｘ／ｄθ＝（１−ｃｏｓθ）

　　ｄｙ／ｄθ＝ｓｉｎθ

　　（ｄｘ／ｄθ）^2＋（ｄｙ／ｄθ）^2＝２−２ｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^2（θ／２）

　　Ｌ＝∫(0,2π)２ｓｉｎ（θ／２）ｄθ＝∫(0,π)４ｓｉｎｔｄｔ＝８

弧長は回転円に外接する正方形の周に等しいのですが，円周率πが現れないのは不思議な気がします．

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