【３】等周比の一般化

３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると

Ｓ^3≧３６πＶ^2

が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．立体図形のＳ^3／Ｖ^2は平面図形のＬ^2／Ａに相当していて，等周比あるいは等周定数と呼ばれます．

シャボン玉はなぜ丸くなるのか？　クマやリスはなぜ丸くなって冬眠するか？　などは等周不等式Ｓ^3≧３６πＶ^2に関係していることは直感的に発想できるでしょう．本書のレベルを超えてしまうかもしれませんが，等周不等式

　Ｌ^2≧４πＡ，Ｓ^3≧３６πＶ^2

をどんな次元にも適用できるように公式化してみましょう．

ガンマ関数Γ（ｘ）には，Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．

　　Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････

したがって，ｘが正の整数ｎのときには，

　　Γ（ｎ＋１）＝ｎ！

が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．階乗の解析的補間をしている関数がガンマ関数なのですが，

　Γ(1)＝１，Γ(1/2)＝√π

であることを知っていればたいてい間に合います

また，球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎ次元超球の体積は

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

で与えられます．１次元から６次元までを具体的に書けば，

　　Vn＝２，π，４π／３，π2／２，８π2／１５，π3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．

単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はVnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1となります．等周比を無次元化するために，

　ｎ次元等周比＝表面積^n／体積^(n-1)

と定義すると，

ｎ次元等周比≧ｎ^nＶn＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)（＝Ｃn）

を得ることができます．等号は超球のときに限ります．

　ともあれ，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，

　　Ｃ2＝４π

　　Ｃ3＝３６π

になることがわかります．以下，

　　Ｃ4＝2^7π^2

　　Ｃ5＝8/3*5^4π^2

　　Ｃ6＝6^5π^3

となります．

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