いまから２０００年以上も前の紀元前３世紀，アルキメデスは円に内接・外接する正９６角形による計算から

　　３・１０／７１＜π＜３・１／７

あるいは小数で表すと

　　３．１４０８４＜π＜３．１４２８５８

よりπ＝３．１４という近似値を求めています．

　アルキメデスは

　　２６５／１５３＜√３＜１３５１／７８０

も導いていますが，どうやって導いたのでしょうか？

　［参］小野田博一「数学難問Best100」ＰＨＰ

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　ペル方程式ｘ^2−３ｙ^2＝１を解く．

　　１＝（ｘ＋√３ｙ）（ｘ−√３ｙ）

　　１^2＝（ｘ＋√３ｙ）^2（ｘ−√３ｙ）^2

　　　　＝｛ｘ^2＋３ｙ^2｝^2−３｛２ｘｙ｝^2

　したがって（ｘ0，ｙ0）が解ならば

　　（ｘ0^2＋３ｙ0^2，２ｘ0ｙ0）

も解となる．

　　（２，１）は解なので（７，４）も解．

　　（７，４）は解なので（９７，５６）も解．

これを続けると

　　２６５／１５３＜√３＜１３５１／７８０

が得られる．

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　　（２＋√３）^2＝７＋４√３

　　（２＋√３）^3＝２６＋１５√３

　　（２＋√３）^4＝９７＋５６√３

　　（２＋√３）^5＝３６２＋２０９√３

　　（２＋√３）^6＝１３５１＋７８０√３

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