【４】ガウス測度の集中

　格子上のランダムウォークについて

(1)ｎステップの後の１次元酔歩が原点からの距離が√ｎのオーダーであること

(2)ｎステップの後のｄ次元酔歩も原点からの距離が√ｎのオーダーであること

が示されましたが，これは拡散現象では一般的にいえることであることがわかります．

　格子上のランダムウォークは，ブラウン運動などの拡散モデルとしてよく知られていますが，格子のモデルはブラウン運動の離散化とみなすことができるので，局所的にみると離散的過程であっても，大域的にみると連続空間に分布した連続的なｎ次元ガウス分布とみることができます．

　ｎ次元ガウス分布にしたがってランダムに選んだ点の原点からの距離は期待値√ｎの周りに鋭く集中していますから，半径√ｎの球面Ｓn-1上の一様分布からランダムに点を選ぶことに類似しています．このことから，ガウス測度の集中に対する同様な結果については

　　γ（Ａ）≧１／２

　　γ（Ａt）≧１−ｅｘｐ（ｰt^2/2）

が成り立つことが知られています．

　この不等式には次元ｎが現れないのですが，それは半径√ｎの球面Ｓn-1に対する状況と非常によく似ていることから理解されます．また，係数２は現れませんから，球面の状況と本質的に違うところは係数だけと考えることができます．

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