【５】ディリクレ分布（多変量ベータ分布）

　ガウス型超幾何関数

　　2Ｆ1(a,b,c,x)＝Γ(c)／Γ(a)Γ(c-a)∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(c-a-1)(1-xt)^(-b)dt

は一変数関数ですが，この節では超幾何関数ではなく，ベータ関数の多次元化・多変量化（別の方向への一般化）について考えることにします．

　ベータ関数を多変数化すると，ディリクレの積分公式

　　∫ｘ1^(p1-1)･･･ｘm^(pm-1)（１−ｘ1−・・・−ｘm）^(q-1)ｄｘ1・・・ｄｘm

　＝Γ(p1)･･･Γ(pm)Γ(q)／Γ(p1+･･･+pm+q)

が得られます．

　→［参］高木貞治「解析概論」岩波書店，ｐ359

　積分すると１になるように規格化したものがディリクレ分布で，ｘ1，ｘ2，・・・ｘm-1，ｘmが独立でそれぞれ自由度２θiのカイ２乗分布にしたがうとして，

　　ｘm＝１−Σｘi，ｙi＝ｘi／Σｘi

とおくと（ｙ1，・・・，ｙm-1）の同時確率密度関数は

　　ｆ（ｙ1，・・・，ｙm-1）＝Γ（Σθi）／ΠΓ（θi）・Πｙi^(θi-1)

　このｍ−１次元分布をディリクレ分布と呼びます．ｍ＝２のときがベータ分布であって，ベータ分布の多次元化とみなすことができます．また，ディリクレ分布の周辺分布はベータ分布になります．

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