ｄ次元正規分布は，

　　p(x1,x2,x3,･･･,xd)=1/(2πσ^2)^(d/2)exp{-(x1^2+x^2+･･･+xd^2)/2σ^2}

で与えられます．多次元正規分布の場合，低次元の場合とは対照的に密度の裾にあたる領域に大部分のデータが存在することになるのですが，まずそのことをみてみましょう．

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【１】σ，２σ，３σの領域内に納まる確率

　当該の積分

　　∫∫・・∫∫π^(-n/2)ｅｘｐ（−ｘ1^2−・・・−ｘn^2）ｄｘ1ｄｘ2・・ｄｘn

は多重ガウス積分ですから，

　　π^(n/2)γ(n/2,x)／Γ(n/2)

　したがって，求める確率はγ(n/2,x)／Γ(n/2)より，自由度ｎのχ^2分布の上側確率で与えられることになります．

　χ^2分布は不完全ガンマ関数と密接に関係していて，その分布関数は，超幾何関数を使って

　　F(x)=(x/2)^(d/2)1F1(d/2,1+d/2,-x/2)/Γ(1+d/2)

　　　　=(x/2)^(d/2)exp(-x/2)1F1(1,1+d/2,x/2)/Γ(1+d/2)

のようにも表現されます．

　１次元であれば３σを外れる確率はわずか千に三つにすぎないのですが，高次元化に伴い次第に中心部は過疎化し，１０次元では半分以上が３σの郊外に移り住み，３０次元では９９％以上が裾の領域に集まるという結果になるのです．

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