【３】スターリングの公式と漸近評価

　ｎ次元超立方体[-1,1]^n（体積：2^n）において，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．

ｎ Ｖn／２^n

１ 1

２ 0.79

３ 0.52

４ 0.31

５ 0.16

６ 0.08

７ 0.04

８ 0.02

９ 0.006

10 0.0025

　Ｖn／２^nは，ｎ＝１０のとき，すでに１０^(-3)より小さくなるのですが，これを有名なスターリングの近似公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）

を使って書き直してみましょう．すると

　　Ｖn／２^n〜（πｅ／２ｎ）^(n/2)／√πｎ

のように振る舞うことがわかります．

　粗くいうと

　　Ｖn／２^n〜（πｅ／２ｎ）^(n/2)

のオーダーとなりますから，２ｎ＞πｅ＝８．５３９・・・すなわちｎ＞５のとき，Ｖn／２^nは急激に小さくなることが示されます．

　ここで重要なのは，単位超球を超立方体中に置くと，次元が大きくなるにつれて隙間がより大きくなる点です．内接球が立方体の中で無視できるほど小さな粒子のようになり，したがって，高次元において超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分のデータは超球外に位置することになります．ｎ＝２０では１個の超球内の点に対して，４千万個の点が超球外にあることになります．

　また，単位立方体と同じ体積をもつｎ次元超球の半径ｒは

　　Ｖnｒ^n＝１

より

　　ｒ＝Ｖn^(-1/n)

ですから

　　ｒ〜（ｎ／２πｅ）〜０．２４√ｎ

のように増加することも理解されます．

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