エジプト三角形（３，４，５）は３辺の長さが等差数列をなす唯一のピラゴラス三角形である．

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　　ａ＝ｐ^2−ｑ^2，ｂ＝２ｐｑ，ｃ＝ｐ^2＋ｑ^2

　　ｐ＞ｑ＞０とする．

［１］ｐ^2−ｑ^2＜２ｐｑ＜ｐ^2＋ｑ^2の場合

　　４ｐｑ＝２ｐ^2→ｐ＝２ｑ

　　（ｐ^2−ｑ^2，２ｐｑ，ｐ^2＋ｑ^2）→（３，４，５）

［２］２ｐｑ＜ｐ^2−ｑ^2＜ｐ^2＋ｑ^2の場合

　　２（ｐ^2−ｑ^2）＝ｐ^2＋２ｐｑ＋ｑ^2＝（ｐ＋ｑ）^2

　　２（ｐ−ｑ）＝ｐ＋ｑ→ｐ＝３ｑ

　　（ｐ^2−ｑ^2，２ｐｑ，ｐ^2＋ｑ^2）→（８，６，１０）→（３，４，５）

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［雑感］このシリースでは，

　　ａ＝ｐ^2−ｑ^2，ｂ＝２ｐｑ，ｃ＝ｐ^2＋ｑ^2

とおいたが，直接，２ｂ＝ａ＋ｃ，２ａ＝ｂ＋ｃとしてもそれほど変わらないと思う．

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