ピタゴラス三角形の直角を挟む辺をａ，ｂとする．このとき，

　　ａ，ｂ，ａ−ｂ，ａ＋ｂのどれかは７で割り切れる

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［証］ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

　　ａ＝ｐ^2−ｑ^2，ｂ＝２ｐｑ，ｃ＝ｐ^2＋ｑ^2

とおく．

　　ａ＋ｂ＝ｐ^2−ｑ^2＋２ｐｑ

　　ａ−ｂ＝ｐ^2−ｑ^2−２ｐｑ

　　ａ^2−ｂ^2＝（ｐ^2−ｑ^2）^2−（２ｐｑ）^2＝ｐ^4−６ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4

　　ｐ^4−６ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4　　（ｍｏｄ　７）

［０］ａ＝７ｋ　　　→　ａ^2＝０，ａ^4＝０　　（ｍｏｄ　７）

［１］ａ＝７ｋ＋１　→　ａ^2＝１，ａ^4＝１　　（ｍｏｄ　７）

［２］ａ＝７ｋ＋２　→　ａ^2＝４，ａ^4＝２　　（ｍｏｄ　７）

［３］ａ＝７ｋ＋３　→　ａ^2＝２，ａ^4＝４　　（ｍｏｄ　７）

［４］ａ＝７ｋ＋４　→　ａ^2＝２，ａ^4＝４　　（ｍｏｄ　７）

［５］ａ＝７ｋ＋５　→　ａ^2＝４，ａ^4＝２　　（ｍｏｄ　７）

［６］ａ＝７ｋ＋６　→　ａ^2＝１，ａ^4＝１　　（ｍｏｄ　７）

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　ａ，ｂは７の倍数ではないと仮定する．［１］〜［６］のすべての組み合わせについて，ことごとく調べるのであるが，

　　ｐ^2−ｑ^2＝０　　（ｍｏｄ７）

の場合は，ａ，ｂが７の倍数ではないとする仮定に反する．

　また，対称性を考慮して［１］〜［３］のすべての組み合わせについて，考えればよいことになる．

［１］×［１］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝１＋１・１＋１＝３（ＮＧ）→しかし，これはａ，ｂが７の倍数ではないとする仮定に反するので考える必要がない．

［１］×［２］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝１＋１・４＋２＝７

［１］×［３］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝１＋１・２＋４＝７

［２］×［２］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝２＋４・４＋２＝２０（ＮＧ）→考える必要なし

［２］×［３］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝２＋４・２＋４＝１４

［３］×［３］：ｐ^4＋ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4＝４＋２・２＋４＝１２（ＮＧ）→考える必要なし

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